對非線性振動問題的常用求解方法

非線性振動問題的研究通常包括定性研究與定量研究。定性研究的主要內容包括方程解的存在性、**性、周期性和穩定性的研究等；定量研究包括方程解的具體表達形式、數量大小和解的數目等。非線性方程的求解方法有**解法和近似解法，這些方法是

（ 1）分析方法。

（ 2）數值方法。

（ 3）圖解方法。

（ 4）實驗方法。

用分析方法求非線性方程的**解一般僅對少數特殊的兩個自由度以下的非線性方程有效，求方程的**解的方法有直接積分法與分段積分法。對于多數弱非線性的單自由度或多自由度系統，只能求出其近似解。

求近似解的方法有以下幾種:

（ 1）等價線性化法；

（ 2）里茲-迦遼金法；

（ 3）諧波平衡法；

（ 4）迭代法；

（ 5）傳統小參數法；

（ 6）多尺度法；

（ 7）平均法；

（ 8）漸近法。

此外，能量法有時可用來**求解，而有時只能用于近似計算。數值方法目前已廣泛用于計算非線性振動系統，是一種求解非線性方程的有效方法。圖解方法在研究單自由度非線性振動系統是一種不可缺少的方法，在相平面上進行作圖的各種方法，例如，等傾線作圖法，點映射與胞映射法等，對于不同的非線性振動方程都是有效的。在工程中應用*廣的是分析方法與數值方法。實驗方法也很重要，但由于需具備一些試驗必需的儀器和設備，僅在一些必要的條件下使用。目前由于計算技術的發展，在一定情況下和范圍內可由計算機仿真代替部分試驗工作。后面各章將著重介紹分析方法，但對其它一些方法，如數值方法、圖解方法也作了介紹。

計算與思考

1． 非線性振動系統的運動方程式有那些特征？ 按照作用力的非線性特征非線性振動系統有那幾種？

2． 請分別舉出慣性力項為非線性的、阻尼力項為非線性的及彈性力項為非線性的非線性振動系統的兩個工程實際例子。

3． 請舉出兩個慢變參數振動系統的工程實例。

4． 試應用過去學習過的牛頓法、達倫培爾原理、動靜法、拉格朗日方法建立非線性運動方程式（如未學習過這些方法，可參閱有關參考書，并掌握這些方法）。

5． 寫出*常見的非線性振動系統的典型方程式。

6． 定性分析和定量分析包括哪些具體內容？

7． 求解非線性振動問題的方法有解析方法、數值方法、圖解方法和實驗方法，這些方法各有哪些特點？

8． 按照你的觀點和掌握的知識，舉出在非線性振動理論及其應用的領域有哪些重要的問題亟待解決？